在滤波器设计中，经常需要知道滤波器的频率特性。测量滤波器的脉冲响应，能够精确地获取频率特性。但是如果无法进行精确的数字的脉冲响应运算的话，那么用Sine Sweep波(频率逐渐变高的正弦波，也叫做频率扫描)来测量系统的频率特性是再适合不过的了。例如我们可以用Sine Sweep波来测量某个Mp3播放器的的频率特性，以及设置不同的EQ(均衡器)之后的频率特性。我们可以让播放器播放某个特定的Sine Sweep文件，用录音设备记录下它的输出声音，查看录下来的波形就能大概知道系统的频率特性了。

为了符合人类的听觉特性，通常频率响应图的频率轴都采用对数坐标。因此我们要产生的Sweep波的频率变化就需要成指数增长。下面具体谈谈如何推导出这种 Sine Sweep波的函数方程。Sweep波的频率需要根据时间成指数增长，因此它的函数方程为

其中f0为初始频率，k为增长系数，例如如果我们要产生f0 - f1的t0秒的Sweep波 的话，那么

我们知道频率为F的正弦波的函数为

那么把频率的变化 方程带入此式得

这个公式是否正确，我写了一个程序测试，程序按照f0=20Hz, f1=20kHz, t0=50s 设置，结果发现37秒左右的时候就已经达到了20kHz的频率了。所以这个公式是错误的。

那么错在什么地方呢？我们从频率的基本概念入手，重新考虑这个问题。所谓频率就是相位的变化率，所以频率是相位的导数，相位是频率的积分。当频率函数为常数F也就是freq(t)=F时，那么相位函数为freq(t)的积分与2PI的乘积，phase(t)=2*PI*F*t，这样恒定频率F的正弦波的方程才是sin(2*PI*F*t)。

如果频率函数为

则计算相位函数需要对f0*k^t积分，得

所以正确的Sine sweep波的函数为：

这里给出一个输出Sine Sweep Wave文件的Python程序 。其核心的计算部分为：

第四个参数是输出波形的振幅，最大为0x7fff。由于Python本身不太适合这样的重量级计算，因此程序运行需要一些时间，如果安装了psyco库的话，取消

两行的注释能够加速程序3倍左右。以后我会详细讲解如何利用这个Sine Sweep测量Mp3播放器的频率响应。